« 26 »  01  20 17 г.




Линейное дифференциальное уравнение второго порядка - Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение. В этом случае условимся обозначать. Дискриминант этого квадратного уравнения. Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если - действительные корни характеристического уравнения. Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Найти общее решение уравнения. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: Корни этого уравненияпоэтому общее решение линейного однородного уравнения находим по формулегде.

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть уравнения видазаписывается в видегде - общее решение соответствующего однородного уравнения, а - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Укажем способ, позволяющий найти частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка | Математика

Заметим, что это возможно лишь в случаях, когда правая часть уравнения является функцией определенного вида. Пустьгде - некоторое число, не равное нулю.

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Вычислим корни характеристического уравнения: Уравнение в полных дифференциалах 7. Определитель третьего порядка 3. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Действительно, Но , так как есть корень характеристического уравнения Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f x представляет собой сумму , где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

В частности, еслито. Пусть теперьто есть в правой части уравнения находится многочлен некоторой степени или некоторое число если степень многочлена нулевая. Тогда мы можем воспользоваться формулами, рассмотренными выше, полагая в.

Составим характеристическое уравнение соответствующего данному уравнению однородного уравнения: Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: Среди корней характеристического уравнения нет равных числу. Далее соберем подобные в левой части уравнения и разделим обе части уравнения на: Складывая общее решение однородного уравнения и найденное частное решение неоднородного уравнения, получим: Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения.

Его корни, так что общее решение однородного уравнения получим в виде. Но среди корней характеристического уравнения имеется. Характеристическое уравнение имеет корни. Сократим обе части уравнения.

Высшая математика (Учеб. пособие). Авторы: Никулина Л.С., Степанова А.А. , редактор: Александрова Л.И.

Преобразуем левую часть полученного тождества: Многочлены в левой и правой частях этого тождества равны, еслиа свободный члентак как в правой части тождества свободный член отсутствует. В заключение приведем таблицу, облегчающую решение линейных уравнений с правой частью. Все права защищены и принадлежат ВГУЭС. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид.

Задать вопрос приемной комиссии abiturient vvsu. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.




Лена Курячая

Выделение правильной рациональной дроби 3. При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , если удалось найти y 1 и y 2 , то можно не заниматься подбором. Обратные тригонометрические функции 6.